คณิตศาสตร์พื้นฐานระดับมัธยมศึกษาปีที่ 4
เรื่องเซต
เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ
หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียก
สมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต"
| • การเขียนเซต |
| การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ |
| 1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต |
| ตัวอย่างเช่น | A = {1, 2, 3, 4, 5} |
| B = { a, e, i, o, u} |
| C = {...,-2,-1,0,1,2,...} |
| 2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต |
| ตัวอย่างเช่น | A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5} |
| B = { x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ} |
| C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม} |
|
| สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้ |
| I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ | Q- แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ |
| I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก | Q+ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก |
| I แทนเซตของจำนวนเต็ม | Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ |
| N แทนเซตของจำนวนนับ | R แทนเซตของจำนวนจริง |
|
| • เซตจำกัด | | | |
| บทนิยาม | เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้ |
| ตัวอย่างเช่น | A = {1, 2, 3, 4, 5} | มีสมาชิก 5 สมาชิก |
| | B = { a, e, i, o, u} | มีสมาชิก 5 สมาชิก |
|
| เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน |
| ตัวอย่างเช่่น C = {...,-2,-1,0,1,2,...} |
| เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B |
| ตัวอย่างเช่่น | A = {1, 2, 3, 4, 5} |
| B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5} |
| ∴ | A = B |
| เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø |
| ตัวอย่างเช่่น | A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2} | ∴ A = Ø |
| B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } | ∴ ฺB = Ø |
| เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด |
| เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u |
| ตัวอย่างเช่่น | ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม |
| U = {...,-2,-1,0,1,2,...} |
| | U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}
| บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ⊂B |
| ตัวอย่างที่ 1 | A = {1, 2, 3} |
| | B = { 1, 2, 3, 4, 5} |
| | ∴ | A ⊂ B |
| ตัวอย่างที่ 2 | C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก } = {1,2,3,...} |
| | D = { x | x เป็นจำนวนคี่ } = {...,-3,-1,1,3,...} |
| | ∴ | C  D |
| ตัวอย่างที่ 3 | E = { 0,1,2 } |
| | F = { 2,1,0 } |
| | ∴ | E ⊂ F และ F ⊂ E |
| จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่า E ⊂ F และ F ⊂ E แล้ว E = F |
| สับเซตแท้ | เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B |
| จำนวนสับเซต | ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2n เซต และในจำนวนนี้เป็นสับเซตแท้ 2n - 1 เซต |
บทนิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A)
|
| ตัวอย่างที่ 1 | A = Ø |
| | สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø |
| | ∴ | P(A) = {Ø } |
| ตัวอย่างที่ 2 | B = {1} |
| | สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1} |
| | ∴ | P(B) = {Ø, {1} } |
| ตัวอย่างที่ 3 | C = {1,2} |
| | สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2}, {1,2} |
| | ∴ | P(C) ={Ø, {1} , {2}, {1,2} }
|
| • การเขียนแผนภาพแทนเซต |
ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ และรูปปิดวงกลม หรือวงรีแทนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้
|
 |  |  |
เราเรียกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้ว่า "แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์" (Venn-Euler Diagram)
|
| | | | | | |
| • ยูเนียน (Union) |
| บทนิยาม |
| เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B |
|
| ตัวอย่างเช่น | A ={1,2,3} |
| | B= {3,4,5} |
| |
∴
| A ∪ B = {1,2,3,4,5} |
 |
| | | | | | |
| • อินเตอร์เซกชัน (Intersection) |
| บทนิยาม |
| เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B |
|
| ตัวอย่างเช่น | A ={1,2,3} |
| | B= {3,4,5} |
| |
∴
| A ∩ B = {3} |
 |
| | | | | | |
| • คอมพลีเมนต์ (Complements) |
| บทนิยาม |
| ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A' |
|
| ตัวอย่างเช่น | U = {1,2,3,4,5} |
| | A ={1,2,3} |
| |
∴
| A' = {4,5} |
 |
| | | | | | |
|
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น